Question

【题目】已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于和两点.

（1）当时，求直线的方程；

（2）若过点且垂直于直线的直线与抛物线交于、两点，记与的面积分别为与，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合条件可求得的值，进而可求得直线的方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求得，利用三角形的面积公式可求得，同理可得出的表达式，然后利用基本不等式可求得的最小值.

（1）直线过的定点在横轴上，且直线与抛物线相交，则斜率一定不能为，所以可设直线方程为.

联立，消去得，

由韦达定理得，，

所以.

因为，所以，解得.

所以直线的方程为或；

（2）根据（1），设直线的方程为.

联立，消去得，

由韦达定理得，，

则.

因为直线与直线垂直，

且当时，直线的方程为，则此时直线的方程为.但此时直线与抛物线没有两个交点，

所以不符合题意，所以.

所以直线的斜率为，可得，

，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.