Question

已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为

4

5

，且过点（

10 2

3

，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l分别切椭圆C与圆M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆的方程，根据离心率及椭圆过点（

10 2

3

，1）求出待定系数，即得椭圆的方程．
（Ⅱ）用斜截式设出直线的方程，代入椭圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，化简|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则

c

a

=

4

5

，c=

4

5

a，
∴b2 = a2-c2= 

9

25

a2，
∵椭圆过点(

10 2

3

，1)，∴

200 9

a2

 + 

1

9 25 a2

=1，解得 a²=25，b²=9，
故椭圆C的方程为

x2

25

 +

y2

9

=1（4分）

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m，因为A既在椭圆上，又在直线AB上，
从而有

x2 25 + y2 9 =1 y=kx+m

，消去y得：（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，
由于直线与椭圆相切，
故△=（50kmx）²-4（25k²+9）×25（m²-9）=0，从而可得：m²=9+25k²，①，x₁=-

25k

m

，②
由

x2+ y2=R2 y=kx+m

．消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-R²=0，
由于直线与圆相切，得m²=R²（1+k²），③，x₂=-

kR2

m

，④
由②④得：x₂-x₁=

k(25-R2)

m

，由①③得：k²=

R2-9

25-R2

，（9分）
∴|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+k²）（x₂-x₁）²
=

m2

R2

•

k2 (25-R2 )

m2

=

R2-9

R2

•

(25-R2)2

25-R2

= 25+ 9-R2-

225

R2

≤34-

2	R2× 225 R2

=34-30=4
即|AB|≤2，当且仅当R=

15

时取等号，所以|AB|的最大值为2（12分）

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，基本不等式的应用．