Question

【题目】知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）设函数，若是的唯一极值点，求．

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减；（2）

【解析】

（1）当时， ，定义域为，求导，解，即可得出单调性．

（2）由题意可得：，求导得，由于是的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一：对恒成立．情形二：对恒成立．设，对分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解：（1）当时， ，定义域为．

，

解，解得．

∴函数在上单调递增；在上单调递减．

（2）由题意可得：，．

，．

由于是的唯一极值点，则有以下两种情形：

情形一：对恒成立．

情形二：对恒成立．

设．．

①当时，．则．

可得时，函数取得极小值即最小值，∴．满足题意．

②当时，．在单调递增．

又．∴存在，使得．

当时，，在单调递增，∴，这与题意不符．

③当时，设．，

令，解得．

可得在上单调递减；在上单调递增．

i）当时，，由在上单调递减，

可得，在上单调递减，

∴，这与题意矛盾，舍去．

ii）当时， ，由的单调性及，

可知：时，都有．

又在上单调递增，，

则存在，使得．

∴时，，此时单调递减，

∴，这与题意矛盾，舍去．

综上可得：．