Question

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1:3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)； (Ⅱ)[，）．

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由题意比例关系先求c，再由离心率求a，从而可求椭圆的方程；（Ⅱ）分直线AB斜率是否存在两种情况讨论：（1）当直线AB垂直于x轴时，易求；（2）当直线AB不垂直于x轴时，先设直线AB的斜率，点M、A、B的坐标，把点A、B坐标代入椭圆方程求k、m之间的关系，再求PQ直线方程，然后与椭圆方程联立方程组，由韦达定理求的表达式，最后求其范围．

试题解析：(Ⅰ) 设F₂(c，0)，则＝，所以c＝1．

因为离心率e＝，所以a＝．

所以椭圆C的方程为．                     6分

(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，此时P(，0)、Q(,0)

．

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由  得(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，则－1＋4mk＝0，故k＝．

此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为．即．

联立 消去y，整理得．

所以，．

于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

．

令t＝1＋32m²，1＜t＜29，则．

又1＜t＜29，所以．

综上，的取值范围为[，）． 15分

考点：1、椭圆的方程及性质；2、直线与椭圆相交的性质；3、向量的坐标运算.