Question

 

己知三棱柱，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，，，又知

(1)求证：平面；

(2)求点C到平面的距离；

(3)求二面角余弦值的大小．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

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（1）得，因为底，所以，

，所以面，所以   ……3分

因为，，所以底 ……1分

（2）由（1）得，所以是菱形，……1分

所以，，……1分

由，得  ……2分

（3）设，作于，连，由（1）所以，所以为二面角平面角，……2分

在中，所以，所以二面角余弦   ……2分

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（1）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，，，，，      ……1分

，，，    ……1分

由，知，             ……1分

    又，从而平面；     ……1分

（2）由，得    ……1分

    设平面的法向量为，，，所以

，设，则    ……2分

    所以点到平面的距离    ……1分

（3）再设平面的法向量为，，，  ……1分

    所以，设，则，                  ……2分

    故，根据法向量的方向可知二面角的余弦值大小为  ……1分