【题目】已知偶函数满足,现给出下列命题:①函数是以2为周期的周期函数;②函数是以4为周期的周期函数;③函数为奇函数;④函数为偶函数,则其中真命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
由偶函数的定义和条件,将x换为x+2,可得f(x+4)=f(x),可得周期为4,即可判断①②的正确性;再由奇函数、偶函数的定义,将x换为﹣x,化简变形即可判断③④的正确性.
解:偶函数f(x)满足f(x)+f(2﹣x)=0,
即有f(﹣x)=f(x)=﹣f(2﹣x),
即为f(x+2)=﹣f(x),f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),
可得f(x)的最小正周期为4,故①错误;②正确;
由f(x+2)=﹣f(x),可得f(x+1)=﹣f(x﹣1),
又f(﹣x﹣1)=f(x+1),即有f(﹣x﹣1)=﹣f(x﹣1),故f(x﹣1)为奇函数,故③正确;
由f(﹣x﹣3)=f(x+3),若f(x﹣3)为偶函数,即有f(﹣x﹣3)=f(x﹣3),
可得f(x+3)=f(x﹣3),即f(x+6)=f(x),可得6为f(x)的周期,这与4为最小正周期矛盾,故④错误.
故选:B.
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【题目】依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示;依据当地的地质构造,得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示.
试估计该河流在8月份水位的中位数;
(1)以此频率作为概率,试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率;
(2)该河流域某企业,在8月份,若没受1、2级灾害影响,利润为500万元;若受1级灾害影响,则亏损100万元;若受2级灾害影响则亏损1000万元.
现此企业有如下三种应对方案:
方案 | 防控等级 | 费用(单位:万元) |
方案一 | 无措施 | 0 |
方案二 | 防控1级灾害 | 40 |
方案三 | 防控2级灾害 | 100 |
试问,如仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点,的坐标分别为,.直线,相交于点,且它们的斜率之积是.记点的轨迹为.
(Ⅰ)求的方程.
(Ⅱ)已知直线,分别交直线于点,,轨迹在点处的切线与线段交于点,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆C:
(1)若圆C与x轴相切,求实数a的值;
(2)若M,N为圆C上不同的两点,过点M,N分别作圆C的切线,若与相交于点P,圆C上异于M,N另有一点Q,满足,若直线:上存在唯一的一个点T,使得,求实数a的值.
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【题目】如图,在四棱锥中,,,,且,.
(1)证明:平面;
(2)在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为?如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.
(Ⅰ)设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
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【题目】某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
满意 | 不满意 | |
男顾客 | 40 | 10 |
女顾客 | 30 | 20 |
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附:.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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