Question

【题目】如图，在四棱锥中，为正方形，且平面平面，点为棱的中点.

（1）在棱上是否存在一点，使得平面？并说明理由；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）当为中点时，分别取，中点，，连接，，，，由平面几何知识证明四边形是平行四边形，最后由线面平行的判定定理证明即可；

（2）取中点，连接，，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

（1）当为中点时，平面.理由如下：

如图，分别取，中点，，连接，，，

又∵是的中点，∴，

又∵为正方形，则，

∴，

又∵是中点，∴，，则四边形是平行四边形

∴

又平面，平面，

∴平面.

（2）如图，取中点，连接，

又，则

∵平面平面，平面平面，平面

∴平面

∴以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系

设，则，，，，

∴，，

设平面的一个法向量为，则

令得，，则，

∴

∴直线与平面所成角的正弦值为.