Question

【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为1，是直线上一点，过点且与垂直的直线交椭圆于两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线的斜率分别为，求证：成等差数列.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据弦长和焦点关系求解方程；

（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分别计算和的关系即可得证.

解：

（1）抛物线的焦点为，准线方程为.

又抛物线的准线被椭圆截得的弦长为1，所以点在椭圆上.

由，解得，.故椭圆的标准方程为

（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，代入椭圆方程得两点坐标为、，此时，.

∴成等差数列.

当直线的斜率存在时，设，直线的方程为，由得

∴，

直线方程为，则，，，.

，.

∴、、成等差数列，综上、、成等差数列.

方法二 设点、、

当时，方程为，此时，，、、成等差数列

当时，的斜率为，方程为，

由得

∴

∴

∴、、成等差数列

综上、、成等差数列.