Question

已知点P是⊙O：x²+y²=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设Q（x，y），利用向量的坐标运算，结合在⊙O上即可得到点Q的轨迹方程；
（2）对于存在性问题的解决方法，可假设存在．由向量关系式得E（1，1）是线段MN的中点，利用中点坐标公式及椭圆的方程式，得到直线MN的斜率值，从而求得直线的方程．结果表明存在．
解答：解：（1）设P（x，y），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x，0）（1分）
∴（2分）
又∴（4分）
∵P在⊙O上，故x²+y²=9∴（5分）
∴点Q的轨迹方程为（6分）
（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）满足，则E（1，1）是线段MN的中点，且有
又M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在椭圆上
∴
两式相减，得（12分）
∴∴直线MN的方程为4x+9y-13=0
将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x²-104x-155=0则△＞0有实根
∴椭圆上存在点M、N满足，此时直线MN的方程为4x+9y-13=0（14分）
点评：本题在向量与圆锥曲线交汇处命题，考查了向量的坐标运算、曲线方程的求法、椭圆的定义以及等价转化能力．