Question

已知点P是⊙O：x²+y²=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足

DQ

=

2

3

DP

．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使

OE

=

1

2

(

OM

+

ON

)（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设Q（x，y），利用向量的坐标运算，结合在⊙O上即可得到点Q的轨迹方程；
（2）对于存在性问题的解决方法，可假设存在．由向量关系式得E（1，1）是线段MN的中点，利用中点坐标公式及椭圆的方程式，得到直线MN的斜率值，从而求得直线的方程．结果表明存在．

解答：解：（1）设P（x₀，y₀），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x₀，0）（1分）
∴

DQ

=(x-x0，y)，

DP

=(0，y0)（2分）
又

DQ

=

2

3

DP

∴

x-x0=0 y= 2 3 y0

即

x0=x y0= 3 2 y

（4分）
∵P在⊙O上，故x₀²+y₀²=9∴

x2

9

+

y2

4

=1（5分）
∴点Q的轨迹方程为

x2

9

+

y2

4

=1（6分）
（2）假设椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上存在两个不重合的两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）满足

OE

=

1

2

(

OM

+

ON

)，则E（1，1）是线段MN的中点，且有

x1+x2 2 =1 y1+y2 2 =1

即

x1+x2=2 y1+y2=2

又M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上
∴

x12 9 + y12 4 =1 x22 9 + y22 4 =1

两式相减，得

(x1-x2)(x1+x2)

9

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0（12分）
∴kMN=

y1-y2

x1-x2

=-

4

9

∴直线MN的方程为4x+9y-13=0
将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x²-104x-155=0则△＞0有实根
∴椭圆上存在点M、N满足

OE

=

1

2

(

OM

+

ON

)，此时直线MN的方程为4x+9y-13=0（14分）

点评：本题在向量与圆锥曲线交汇处命题，考查了向量的坐标运算、曲线方程的求法、椭圆的定义以及等价转化能力．