Question

【题目】如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽m（从拐角处，即图中，处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．

（1）在水平面内，过点的一条直线与水渠的内壁交于，两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段的长度表示为的函数；

（2）若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠，理由详见解析．

【解析】

（1）计算，，得到函数解析式.

（2）设，求导得到单调区间，计算函数的最小值，得到答案.

（1），，所以，即．

（2）设，，

由，

令，得，

且当，；当，，

所以在上单调递减；在上单调递增，

所以当时，取得极小值，即为最小值．

当时，，，

所以，

即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m．

因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．