Question

【题目】四棱锥中，交于点,且，

。

（1）若为中点，求证：∥。

（2）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的体积，并证明：。

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）由，推出在的垂直平分线上，同理在的垂直平分线上，从而推出，且为中点，再根据，为中点，即可推出，可证∥，即可证明∥面；（2）根据及，可推出当与底面垂直时，三棱锥的体积最大，此时可证，从而证明，且可算出，再根据，即可算出三棱锥的体积.

试题解析：（1）证明：∵

∴在的垂直平分线上，

同理在的垂直平分线上.

∴即为的垂直平分线

∴，且为中点

∵，为中点

∴三角形中，

∴∥

∵

∴∥

（2）由题知，显然.

故当与底面垂直时，三棱锥的体积最大，此时可得.

∵

∴

∵

∴，此时

∴

∴

∴三棱锥的体积为2