Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若有两个零点，求实数的范围；

（3）已知函数与函数的图象关于原点对称，如果，且，证明： .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析： 求导即可求函数的单调区间和极值，求导后分类讨论当时、当时、当时、当时的情况，给出结果令，求导证明可得，得证

解析：（1）根据，

令，解得，当变化时， ， 的变化情况如下表：

	递减		递增

∴函数的增区间为，减区间为；函数在处取的极小值，无极大值.

（2）由，则，

当时， ，易知函数只有一个零点，不符合题意，

当时，在上， 单调递减；在上， 单调递增，又， ，当时， ，所以函数有两个零点，

当时，在和上， 单调递增，在上， 单调递减.又 ，所以函数至多一个零点，不符合题意，

当时，在和上， 单调递增，在上， 单调递减.

又，所以函数至多一个零点，不符合题意，

当时， ，函数在上单调递增，所以函数至多一个零点，不符合题意，

综上，实数的取值范围是.

（3）由， ，令，解得，当变化时， ， 的变化情况如下表：

	递增		递减

由，不妨设，根据结合图象可知， ，

令， ，则，∵， ，∴，则，∴在单调递增，又∵，∴时， ，即当时， ，则，

又，∴，因，∴，∴，∵在上是增函数，∴，∴得证.