如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H为PC的中点,M为AH的中点,PA=AC=2,BC=1.
(1)求证:AH⊥平面PBC;
(2)求PM与平面AHB成角的正弦值;
(3)设点N在线段PB上,且=λ,MN∥平面ABC,求实数λ的值.
(1)证明:因为PA⊥底面ABC,BD⊂底面ABC,
所以PA⊥BC,
又因为AC⊥BC,PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC,
又因为AH⊂平面PAC,
所以BC⊥AH.
因为PA=AC,H是PC中点,
所以AH⊥PC,
又因为PC∩BC=C,
所以AH⊥平面PBC.
(2)解:在平面ABC中,过点A作AD∥BC,
因为BC⊥平面PAC,
所以AD⊥平面PAC,
又PA⊥底面ABC,得PA,AC,AD两两垂直,
所以以A为原点,AD,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系
则A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,1,1),M(0,,).
设平面AHB的法向量为n=(x,y,z),
=(0,1,1),=(1,2,0),
由
得
令z=1,得n=(2,-1,1).
设PM与平面AHB所成角为θ,
因为=(0,,-),
所以sin θ=|cos<,n>|
=||
=||
即sin θ=.
(3)解:因为=(1,2,-2),=λ,
所以=(λ,2λ,-2λ),
又因为=(0,,-),
所以=-
=(λ,2λ-,-2λ).
因为MN∥平面ABC,平面ABC的一个法向量=(0,0,2),
所以·=3-4λ=0,
解得λ=.
科目:高中数学 来源: 题型:
已知正方体ABCDA1B1C1D1中,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是( )
(A)A1、M、O三点共线
(B)M、O、A1、A四点共面
(C)A、O、C、M四点共面
(D)B、B1、O、M四点共面
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科目:高中数学 来源: 题型:
如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(1)证明:BD⊥平面APC;
(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成的角的正切值;
(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
已知如图所示,平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且
∠C1CD=∠C1CB=∠BCD=60°.
(1)求证:C1C⊥BD;
(2)当的值是多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.
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科目:高中数学 来源: 题型:
在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,AB=PD=a.点E为侧棱PC的中点,又作DF⊥PB交PB于点F.则PB与平面EFD所成角为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
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科目:高中数学 来源: 题型:
“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
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