Question

设函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（I）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；
（II）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x²中唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx，知x＞0，f′(x)=

1

x

-ax-b，由f′（x）=0，得b=1-a，故f′(x)=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

．由此能求出a的取值范围．
（Ⅱ）由方程2mf（x）=x²中唯一实数解，知x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x²-2mlnx-2mx，则g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

，令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．由此入手能够推导出正数m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx，
∴x＞0，f′(x)=

1

x

-ax-b，
由f′（x）=0，得b=1-a，
∴f′(x)=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

．
①若a≥0，由f′（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，所以x=1是f（x）的极大值点．
②若a＜0，则f′（x）=0，得x=1，或x=-

1

a

，
∵x=1是f（x）的极大值点，
∴-

1

a

＞1，解得-1＜a＜0．
综合①②，得a的取值范围是a＞-1．
（Ⅱ）∵方程2mf（x）=x²中唯一实数解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，
则g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

，
令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．
∵m＞0，∴△=m²+4m＞0，
方程有两异号根，设为x₁0，
∵x＞0，∴x₁应舍去．
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上单调递增，
当x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0，
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x22-2mlnx2-2mx2=0 x2 2-mx2-m=0

，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0，
∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0（*），
设函数h（x）=2lnx+x-1，
∵当x＞0时，h（x）是增函数，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h（1）=0，
∴方程（*）的解为x₂=1，
代入方程组解得m=

1

2

．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．