Question

【题目】已知函数（其中，，，是实数常数，）.

（1）若，函数的图象关于点成中心对称，求，的值；

（2）若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围；

（3）若，函数是奇函数，，，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）将化为，类比的图象得对称中心，对应相等可求得结果；（2）整理可得：；当时符合题意；时由单调性可知不合题意；当时，可知只需，从而得到的范围；综合三种情况得到结果；（3）根据奇偶性和函数值可得：，根据得到，根据单调性求解出的最小值，则根据求得结果.

（1）

类比函数的图象，可知函数的图象的对称中心是

又函数的图象的对称中心

（2）由（1）知，

依据题意，对任意，恒有.

①当时，，符合题意

②当时，对任意，则

恒有，不符合题意；

③当时，函数在上是单调递减函数，且满足

因此，只需即可

解得：

综上所述，实数的范围

（3）依据题设：，解得：

于是

由，得，

因此

函数在是增函数

.

所求负实数的取值范围