Question

已知抛物线y²=2px（p>0），点P，线段OP的垂直平分线经过抛物线的焦点F，经过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N 。
（I）求抛物线的方程；
（II）直线MN是否经过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，试说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由P（），O（0，0），
∴k_OP=，OP的中点为，
∴OP的垂直平分线所在直线方程y，即2x+y-2=0。
令y=0，解得：x=1，
故得：p=2，
∴抛物线方程为：y²=4x。
（Ⅱ）假设直线MN过定点，
设A（x_A，y_A），B (x_B，y_B)，M(x_M，y_M)，
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x-1)，
联立，可得：k²x²-(2k²+4)x+k²=0，
由韦达定理，得x_A+x_B=2+，
所以，x_M=1+，
所以，点M的坐标是（1+，-2k），
当k≠±1时，
直线MN的斜率为：，
直线方程为，
整理得：y(1-k²)=k(x-3)，
∴直线恒经过定点（3，0），
当k=±1时，直线MN方程为x=3，经过（3，0），
综上，不论k为何值，直线MN恒过定点（3，0）。