Question

【题目】(导学号：05856335)[选修4－4：坐标系与参数方程]

以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知A(2，π)，B(2， )，圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.F为圆C上的任意一点．

(Ⅰ)写出圆C的参数方程；

(Ⅱ)求△ABF的面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2) 9＋2

【解析】试题分析：（1）圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程，利用cos2α+sin2α=1可得参数方程．

（2）A（2，π），B（2， ），分别化为直角坐标：A（﹣2，0），B（0，2）．可得|AB|=2，直线AB的方程为：x﹣y+2=0．因此圆C上的点F到直线AB的距离取得最大值时，△ABF的面积取得最大值．

试题解析：

(Ⅰ)因为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0，故x2＋y2－6x＋8y＋21＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝4，故圆C的参数方程为 (θ为参数).

(Ⅱ)易知A(－2,0)，B(0,2)，故直线AB的方程为x－y＋2＝0，

点F(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝，

△ABF的面积S＝×|AB|×d

＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝|2sin(－θ)＋9|，

所以△ABF面积的最大值为9＋2.