Question

（本题满分14分）

(文)如图，|AB|=2，O为AB中点，直线过B且垂直于AB，过A的动直线与交于点C，点M在线段AC上，满足=.

（I）求点M的轨迹方程；

（II）若过B点且斜率为- 的直线与轨迹M交于点P，点Q(t,0)是x轴上任意一点，求当ΔBPQ为锐角三角形时t的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1) x²+4y²=1(y≠0)； (2) - <t<0。

【解析】（1）设M(x,y)，C(1,y₀)，然后再此条件=坐标化可得=,

再根据A、M、C三点一线，∴=,然后两式联立消去y₀,即可得到点M的轨迹方程.要注意.

(2)用向量判定是锐角的条件·>0,并且和不共线，然后用坐标表示出来，即可得到t的取值范围.

 (1)设M(x,y)，C(1,y₀)，∵=，∴=           (2’)

又A、M、C三点一线，∴=       ②                    (4’)

由(1)、(2)消去y₀，得x²+4y²=1(y≠0)                          (6’)

   

(2)P(0, )是轨迹M短轴端点，∴t≥0时∠PQB或∠PBQ不为锐角，∴t<0

又∠QPB为锐角，∴·>0，∴(t,- )(1,- )=t+ >0，∴- <t<0         (12’)