Question

【题目】已知椭圆的离心率，其左、右顶点分别为点，且点关于直线对称的点在直线上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点在椭圆上，点在圆上，且都在第一象限，轴，若直线与轴的交点分别为，判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1）点关于直线对称的点在直线上，代入可求出，又，可解出，然后得出椭圆方程；（2）设，，求出点的坐标，联立直线与椭圆方程，由韦达定理求出坐标，从而得到的方程，求出点的坐标，设，求出化简得，所以，为定值.

解：（1）点关于直线对称的点在直线上，

∴，解得.

又，解得.

∴椭圆E的方程为：.

（2）设，，

令，解得，∴.

联立，化简得：.

∴，解得.

∴，即.

∴直线的斜率=.

∴的方程：，令，解得，∴.

设，则，.

∴.

∵，

∴，∴，即.

∴为定值.