Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，且为等边三角形．

（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆的方程；

（2）如果在椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，求实数的取值范围；

（3）已知点，椭圆上两点、满足，求点横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据为等边三角形，可得，结合椭圆长轴的长为4，即，得，从而求得椭圆的方程；

（2）根据等边三角形，得出a,b,c之间的关系，从而设出椭圆的方程，根据椭圆中中点弦所在直线的斜率所满足的条件，结合对称的条件，求得弦的中点坐标，保证点在椭圆内，得到相应的不等关系，得到结果；

（3）利用向量的关系，得到点的坐标之间的关系，结合隐含条件，得到相应的范围，求得结果

（1）由题意，得，，∴椭圆的方程为；

（2）“点差法”设椭圆的方程为，即，

设、、中点，

则，

得，又，解得，

显然在椭圆内，∴，得，又，∴；

（3）设椭圆方程，即，

方法一：（常规解法）

①过、的直线斜率不存在，即直线方程为时，、，

由，得，

②过、的直线斜率存在，设直线方程为、、，

由，得，

，

则，由，可得，

∴，

综上，点横坐标的取值范围是．

方法二：设，则，

，

又，∴，

∴，

∴，即点横坐标的取值范围是．