Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，两条曲线交于两点.

(1) 求直线与曲线交点的极坐标；

(2) 已知为曲线 (为参数)上的一动点，设直线与曲线的交点为，求的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：

（1）把极坐标方程化为直角坐标方程为， ，解方程组可得直线与曲线交点为，化为极坐标为．（2）由（1）可得，故当点到直线的距离最小时， 的面积最小．故可设点，则点到直线的距离为 (其中），可得，从而得面积的最小值为．

试题解析：

（1)由，得，

又，

所以，

由，得，

又,

所以，

由，解得或 ．

所以直线与曲线交点的极坐标为．

(2)由（1)知直线与曲线交点的直角坐标为，

所以，

因此当的面积最小时，点到直线的距离也最小．

设点，则点到直线的距离为

(其中）

故当时， 取得最小值，且，

所以面积的最小值为．