Question

(本题满分14分) 已知F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足（是坐标原点），,若椭圆的离心率等于.   

(Ⅰ)求直线AB的方程；

(Ⅱ)若三角形ABF₂的面积等于4，求椭圆的方程；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，椭圆上是否存在点M，使得三角形MAB的面积等于8.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)

(Ⅱ)

（Ⅲ）椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于

【解析】本试题主要是考查了直线方程的求解，以及椭圆方程的求解和三角形面颊的综合运用。

（1）根据已知的向量关系，直线过原点，并且向量的垂直关系可以得到点A的坐标，然后将点A的坐标代入椭圆方程中可知得到直线的方程。

（2）连结AF₁、BF₁、AF₂、BF₂，由椭圆的对称性可知，参数a,bc的关系式，进而得到椭圆的方程。

（3）由于由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|

假设在椭圆上存在点M使得三角形MAB的面积等于8

设点M到直线AB的距离为d,则应有

利用三角形的面积公式得到。

解：(Ⅰ)由知，直线AB经过原点，又由知，因为椭圆的离心率等于……2分

设A（），由知

∴A（）,代入椭圆方程得    ∴A（），故直线AB的斜率

因此直线AB的方程为……………4分

(Ⅱ)连结AF₁、BF₁、AF₂、BF₂，由椭圆的对称性可知

，所以……………6分

又由解得   故椭圆方程为……………8分

（Ⅲ）由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|=2……………9分

假设在椭圆上存在点M使得三角形MAB的面积等于8

设点M到直线AB的距离为,则应有

∴……………10分

与AB平行且距离为4的直线为

消去x得       ……………13分

此方程无解故椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于……………14分

另解：设点P（4）为椭圆上任意一点

则P到直线的距离为

……………13分

故椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于……………14分