Question

【题目】设数列的前项和为，满足，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，，成等差数列，求证：，，成等差数列．

Answer 1

【答案】（1）an＝qn－1；（2）证明详见解析.

【解析】

试题本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式、等差中项等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力. 第一问，当时，代入到已知等式中可直接求出的值，当时，利用，得到与的关系，从而得出数列为等比数列，从而得到数列的通项公式；第二问，利用等比数列的前n项和公式，利用等差中项列出等式，通过约分，化简，得到a3＋a6＝2a9，再同时除以q，即得到结论.

试题解析：（Ⅰ）当n＝1时，由(1－q)S1＋q＝1，

当n≥2时，由(1－q)Sn＋qn＝1，得(1－q)Sn－1＋qn－1＝1，两式相减得

(1－q)an＋qn－qn－1＝0，

因为q(q－1)≠0，得an＝qn－1，当n＝1时，a1＝1．

综上an＝qn－1． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列．

所以，又S3＋S6＝2S9，得，

化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8．

故a2，a8，a5成等差数列． 12分