已知椭圆C的左.右焦点坐标分别为,离心率是.椭圆C的左.右顶点分别记为A,B.点S是椭圆C上位于轴上方的动点.直线AS,BS与直线分别交于M,N两点. 求椭圆C的方程, 求线段MN长度的最小值, 当线段MN的长度最小时.在椭圆C上的T满足:的面积为.试确定点T的个数. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。

求椭圆C的方程；

求线段MN长度的最小值；

当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：的面积为。试确定点T的个数。

解（1）因为，且，所以

所以椭圆C的方程为 …………………………………………….3分

(2 ) 易知椭圆C的左，右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在，且

故可设直线AS的方程为，从而

由得

设，则，得

从而，即

又,故直线BS的方程为

由得，所以

故

又，所以

当且仅当时，即时等号成立

所以时，线段MN的长度取最小值 ………………………………..9分

（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，

此时AS的方程为，,

所以,要使的面积为，

只需点T到直线AS的距离等于，

所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上

设，则由，解得

当时，由得

由于，故直线与椭圆C有两个不同交点

②时，由得

由于，故直线与椭圆C没有交点

综上所求点T的个数是2. ……………………………………………..14分

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