Question

【题目】设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点.若是的切线，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）根据抛物线的定义，求出抛物线的解析式即可；（2）求出直线的方程，求出的坐标，联立方程组，求出的坐标，求出直线的斜率，得到关于的不等式，求出的范围即可．

试题解析：（1）过点作直线垂直于直线于点，由题意得，

所以动点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线.

所以抛物线的方程为.

（2）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为.

则，当，则.

联立方程，整理得： .

即： ，解得或.

∴，而，∴直线斜率为.

∴ ，

联立方程，

整理得： ，

即： ， ，

解得： ，或.

∴

∴ .

而抛物线在点处切线斜率： ，

是抛物线的切线， ∴，

整理得，

∴，解得 (舍去)，或，∴.