【题目】如图,在三棱柱中,平面,是的中点,,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析,(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)连结交于点,连结,可知,根据线面平行的判定定理,证明即可.
(Ⅱ)法一: 由,,可知,即,根据平面,可知平面,即,,以为原点,,,所在直线分别为,, 轴,建立空间直角坐标系,求各点坐标,计算平面的法向量为,平面的法向量为,根据,求解即可. 法二:延长、交于,连接,过作于,过作于,连接,则平面,,又,所以平面,为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由,,,计算
,,利用,求解,即可.
(Ⅰ)证明:连结交于点,连结.
则为中点,为中位线.
所以.
又平面,平面.
所以平面.
(Ⅱ)法一:因为,是的中点,所以.
又因为,所以,则
即,所以.
又因为平面,所以建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,.
平面的法向量为.
设平面的法向量为,则由,,得
令,则,.
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
法二:延长、交于,连接,过作于,
过作于,连接,
则平面,,又,所以平面,
为平面与平面所成锐二面角的平面角.
中,,所以高为中线,,,
∵,∴,∴,
中,,
,∴
中,,,
所以平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值为.
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【题目】(本小题满分12分)
已知函数是奇函数,的定义域为.当时, .(e为自然对数的底数).
(1)若函数在区间上存在极值点,求实数的取值范围;
(2)如果当x≥1时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】如图,在直角梯形ABCP中,,,,D是AP的中点,E,G,F分别为PC、CB、PD的中点,将沿CD折起,使得二面角为直二面角.
(1)证明:平面EFG;
(2)求二面角的大小.
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【题目】某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质,特推出一款运动计步数的软件,所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包,大大增加了用户走步的积极性,所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”,统计了2019年1月份所有用户的日平均步数,规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”,步数在8000以下的为“非运动达人”,采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户,得到如下列联表:
运动达人 | 非运动达人 | 总计 | |
男 | 35 | 60 | |
女 | 26 | ||
总计 | 100 |
(1)(i)将列联表补充完整;
(ii)据此列联表判断,能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”?
(2)将频率视作概率,从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户,求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.
附:
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【题目】已知,是椭圆的左右焦点,且椭圆的离心率为,直线与椭圆交于,两点,当直线过时周长为8.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若,是否存在定圆,使得动直线与之相切,若存在写出圆的方程,并求出的面积的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽弦图及注文.弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱色及黄色,其面积称为朱实、黄实.由2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.若图中勾股形的勾股比为,向弦图内随机抛掷100颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉颗数大约为( )(参考数据:,)
A.2B.4C.6D.8
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