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    【题目】如图，等边三角形的边长为，且其

    三个顶点均在抛物线上.

    （Ⅰ）求抛物线的方程；

    （Ⅱ）设动直线与抛物线相切于点，与直线

    相交于点.证明以为直径的圆恒过轴上某定点.

    【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.

    【解析】试题分析：（1）通过数形结合的方法确定抛物线上点的坐标，进而求出抛物线方程。

    （2）由导数得到切线，进而得到交点和圆的方程，从而证明该命题.

    试题解析：（Ⅰ）依题意， ， .

    设，则，

    ∵点在上，

    ∴，解得

    故抛物线的方程为

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，∴

    设，则，且直线的方程为，即

    联立，得，∴

    取，此时， ，

    以为直径的圆为，交轴于或

    取， ， ，

    以为直径的圆为，交轴于或

    故若满足条件的点存在，只能是

    以下证明点即为所求的点

    因为，

    故以为直径的圆恒过轴上的定点

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    A. B. C. D.

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    （1）求曲线的方程；

    （2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值.

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    【题目】 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD= ，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．

    (1) 求直线PB与平面POC所成角的余弦值;

    (2)线段上是否存在一点,使得二面角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

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    【题目】如图，已知正方形的边长为,点分别在边上, 与的交点为， ,现将沿线段折起到位置，使得．

    (1)求证：平面平面；

    (2)求五棱锥的体积；

    (3)在线段上是否存在一点,使得平面？若存在，求；若不存在，说明理由．

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    【题目】已知为坐标原点，椭圆： 的左焦点是，离心率为，且上任意一点到的最短距离为.

    （1）求的方程；

    （2）过点的直线（不过原点）与交于两点、， 为线段的中点.

    （i）证明：直线与的斜率乘积为定值；

    （ii）求面积的最大值及此时的斜率.

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    【题目】设命题：函数的定义域为；命题：关于的方程有实根.

    （1）如果是真命题，求实数的取值范围.

    （2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.

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    【题目】一装有水的直三棱柱容器（厚度忽略不计），上下底面均为边长为5的正三角形，侧棱为10，侧面水平放置，如图所示，点， ， ， 分别在棱， ， ， 上，水面恰好过点， ， ， ，且．

    （1）证明： ；

    （2）若底面水平放置时，求水面的高．

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