Question

（本题满分12分）

设函数（a＞0，b，cÎR），曲线在点P(0，f (0))处的切线方程为．

（Ⅰ）试确定b、c的值；

（Ⅱ）是否存在实数a使得过点（0，2）可作曲线的三条不同切线，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）当时，过点（0，2）可作曲线的三条不同切线．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由得，

，        ……2分

又由曲线在点P(0，)处的切线方程为，得，

，故．……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

设存在实数a使得过点（0，2）可作曲线的三条不同切线，并设切点为．

则切线的斜率为，

切线方程为，．

∵切线过点（0，2），∴．

于是得，              （*）                  ……6分

由已知过点（0，2）可作曲线的三条不同切线，则方程（*）应有三个不同实数根．

令，则．

令，得或．……8分

由于，所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，在区间为增函数，所以函数在处取极大值，在处取极小值．

要使方程（*）有三个不同实数根，，得．……11分

综上所述，当时，过点（0，2）可作曲线的三条不同切线．……12分

注：如有其它解法，斟情给分．

考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极值，简单不等式解法。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（2）作为存在性问题，先假定存在实数a使得过点（0，2）可作曲线的三条不同切线，通过研究函数的单调性，认识函数特征，转化成只需使方程有三个不同实数根，得到a的不等式。