Question

【题目】已知椭圆C； =1（a＞b＞c）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C相交于D、Q两点，且|DF1|+|QF1|=4，P为椭圆C上的动点，△PF1F2的面积的最大值为 ．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设点N（﹣4，0），连接NA与椭圆C相交于点E，直线BE与x轴相交于点M，试求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，2a=4，得a=2．

又bc= ，且b2+c2=4，可得 ，c=1．

∴椭圆的离心率e=

（2）解：由（1）知，椭圆C的标准方程为 ．

由题意可知直线NA存在斜率，

设直线NA的方程为y=k（x+4），代入椭圆方程消去y并整理得：

（4k2+3）x2+32k2x+64k2﹣12=0．

由△=（32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0，解得﹣ ＜k＜ ．

设A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，﹣y1），

得 ，①

直线BE的方程为y+y1= ，令y=0，

得 = ，②

由①②得 ．

即点M为左焦点F1（﹣1，0），

因此NF2=5，MF2=2．

∴ =

【解析】（1）由题意求得a，结合△PF1F2的面积的最大值为 可得bc= ，再由隐含条件求得b，c的值，则椭圆离心率可求；（2）由（1）求出椭圆方程，设出直线NA方程，与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得k的范围，利用根与系数的关系得到A与E的横坐标的和与积，进一步写出BE所在直线方程，取y=0求得M坐标，可知M与椭圆左焦点重合，求出NF2及MF2的值，则 的值可求．