Question

【题目】△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a≠b，c= ，且bsinB﹣asinA= acosA﹣ bcosB．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若△ABC的面积为 ，求a与b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）△ABC中，∵bsinB﹣asinA= acosA﹣ bcosB， ∴sinBsinB﹣sinAsinA= sinAcosA﹣ sinBcosB，
∴ ﹣ = sin2A﹣ sin2B，
整理得 sin2A﹣cos2A= sin2B﹣cos2B，
即2sin（2A﹣ ）=2sin（2B﹣ ）；
又a≠b，∴（2A﹣ ）+（2B﹣ ）=π，
解得A+B= ，
∴C=π﹣（A+B）= ；
（Ⅱ）△ABC的面积为：
absinC= absin = ab= ，
解得ab=6①；
由余弦定理，得
c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣2×6cos =a2+b2﹣6=7，
∴a2+b2=13②；
由①②联立，解方程组得：
a=2，b=3或a=3，b=2
【解析】（Ⅰ）根据正弦定理和三角恒等变换，化简等式得出A+B的值，从而求出C的值；（Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理，列出关于a、b的方程组，求出a、b的值．
【考点精析】利用正弦定理的定义和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．