Question

【题目】已知函数， .

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2) .

【解析】试题分析：

(1)结合函数的解析式可得， ，结合导函数与原函数的单调性的关系可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)原问题等价于方程有实数根，构造函数，利用导函数研究函数存在零点的充要条件可得：当时，方程有实数根.

试题解析：

（1）依题意，得， .

令，即，解得；

令，即，解得，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题得， .

依题意，方程有实数根，

即函数存在零点，

又，

令，得.

当时， ，即函数在区间上单调递减，

而， ，

所以函数存在零点；

当时， ， 随的变化情况如表：

		极小值

所以为函数的极小值，也是最小值.

当，即时，函数没有零点；

当，即时，注意到， ，

所以函数存在零点.

综上所述，当时，方程有实数根.