Question

已知函数f(x)=log2(4x)•log2(2x)，

1

4

≤x＜4
（1）设t=log₂x，求t的取值范围；
（2）求f（x）的最值，并给出函数取得最值时相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）由

1

4

≤x＜4，得log2

1

4

≤t＜log24，算出即可；
（2）把f（x）化为关于t的二次函数，根据二次函数的性质及-2≤t＜2即可求得其最值及x取值．

解答：解：（1）∵t=log₂x，

1

4

≤x＜4，
∴log2

1

4

≤t＜log24，
∴-2≤t＜2，即t的取值范围是[-2，2）．
（2）f（x）=log₂（4x）•log₂（2x）=（log₂4+log₂x）（log₂2+log₂x）
=（2+log₂x）（1+log₂x）=（2+t）（1+t）
=t²+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，
∵-2≤t＜2，
当t=-

3

2

即x=2-

3

2

时，f（x）取得最小值，且f(x)min=-

1

4

．
f（x）无最大值．

点评：本题考查对数函数的图象及其性质，考查二次函数最值的求法，属中档题．