Question

【题目】已知圆：，，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点.

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）记点的轨迹为，，是直线上的两点，满足，曲线的过，的两条切线（异于）交于点，求四边形面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）由题意求出圆 的圆心坐标、半径，由椭圆的定义判断出曲线 的形状为椭圆，椭圆的标准方程即为所求；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式可得的面积，由基本不等式法求出面积取值范围，可得答案.

试题解析：（Ⅰ）依题意得圆心，半径，由于

.

所以点的轨迹方程是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即，，则

，所以的轨迹方程是.

（Ⅱ）依题意，直线斜率存在且不为零，设为，令得，

同理.

设过点的切线为，代入得

.

由解得，

同理.

联立两条切线，解得.

，等号成立当且仅当，

所以四边形面积的取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查定义法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求四边形最值的.