Question

已知函数g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞）上为增函数．且θ∈（0，π），f(x)=mx-

m-1

x

-lnx (m∈R)
（1）求θ的值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）函数是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数g（x）进行求导，根据 g′（x）≥0 在x≥1时成立可得

1

x

≥

1

sinθx2

，根据θ∈（0，π） 可知sinθ＞0，所以sinθ=1求得θ的值．
（2）对函数f（x）-g（x）进行求导，使其为单调，需m=0时，恒小于0  成立m不等于0时对于h（x） 可变为 K（x）=mx²-2x+m=0的形式求解 进而根据对称轴求得所以使K（1）≥0则成立的条件求得m的范围．m＜0时，使K（1）≤0，所以m≤-1．综合可得答案．

解答：解：（1）求导 得到 g′（x）=-

1

sinθx2

+

1

x

≥0 在x≥1时成立
∴

1

x

≥

1

sinθx2

∴1≥

1

sinθ•x

∵θ∈（0，π）∴sinθ＞0
∴sinθx≥1
∴sinθ=1  θ=

π

2

（2）（f（x）-g（x））′=m+

m-1

x2

-

1

x

+

1

x2

-

1

x

=m+

m

x2

-

2

x

使其为单调
∴h（x）=m+

m

x2

-

2

x

=

mx2-2x+m

x2

，在x≥1时
m=0时  h（x）＜0恒成立．
m≠0时
对于h（x）=

mx2-2x+m

x2

，令 K（x）=mx²-2x+m=0的形式求解
因为[1，+∞）上函数为增函数，所以m＞0时 对称轴x=

1

m

所以使K（1）≥0则成立所以m-2+m≥0
所以m≥1
m＜0时   使K（1）≤0  所以m≤-1
综上所述 m=0或m≥1或m≤-1

点评：本题主要考查了方程与函数的综合运用．考查了用导数法研究函数的单调性问题．