Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值是．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点，问是否存在直线与椭圆交于两点，且，若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】

（1）根据焦点三角形面积最大时与短轴端点重合可得的值，与离心率和椭圆一起构造方程组，可求得的值，进而得到椭圆方程；

（2）假设存在直线满足题意，将直线与椭圆方程联立，由可得到满足的不等式；设中点为，由线段长相等可知，得到，由此可求得，代入满足的不等式可解不等式求得的范围.

（1）当与椭圆短轴端点重合时，面积最大

又，，解得：，

椭圆的方程为：

（2）假设存在满足题意的直线，设直线，，

将与椭圆方程联立消去得：

则 …①

，

设中点，则，

即，整理可得：

将代入①可得：，即

解得：

存在满足题意的直线，其斜率的取值范围为