Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线过点且与直线垂直，直线与轴交于点，点与点关于轴对称，动点满足.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点的直线与轨迹相交于两点，设点，直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

（Ⅰ）由已知设直线的方程为，

因为点在直线上，所以，解得.

所以直线的方程为.

令，解得，所以，故.

因为，

由椭圆的定义可得，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长为4.

所以，，

所以轨迹的方程为.

（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由，解得.

不妨设，，则.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由，消去，得，

依题意，直线与轨迹必相交于两点，设，，

则，，

又，，

所以

.

综上可得，为定值.