Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=4，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，(n≥2，n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II） 已知b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*），求证：（1+

1

b2b3

）（1+

1

b3b4

）（1+

1

b4b5

）…（1+

1

bnbn+1

）＜

3	e

．

Answer 1

分析：（I）直接利用sn=nan+2-

n(n-1)

2

，构造新等式求出求数列{a_n}的递推公式，找到数列{a_n}的项的规律进而求出数列{a_n}的通项公式；
（II） 先构造函数f（x）=ln（1+x）-x，利用函数的单调性来对ln（1+

1

bn•bn+1

）的通项进行放缩，再利用裂项求和法求和即可证：（1+

1

b2b3

）（1+

1

b3b4

）（1+

1

b4b5

）…（1+

1

bnbn+1

）＜

3	e

．．

解答：解：（I）当n≥3时，由sn=nan+2-

n(n-1)

2

，
S_n-1=（n-1）a_n-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，
可得an=nan-(n-1)an-1-

n-1

2

×2，
故a_n-a_n-1=1（n≥3，n∈N⁺）．
所以a_n=

4     n=1 n+1      n≥2

（II）设f（x）=ln（1+x）-x，则f'（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x
∵n≥2时，

1

bn

＜

1

an

=

1

n+1

，ln（1+

1

bn•bn+1

）＜

1

bn•bn+1

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴ln（1+

1

b2•b3

）+ln（1+

1

b3• b4

）+…+ln（1+

1

bn•bn+1

）＜

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

3

-

1

n+2

＜

1

3

．
∴（1+

1

b2b3

）（1+

1

b3b4

）（1+

1

b4b5

）…（1+

1

bnbn+1

）＜

3	e

．

点评：本题考查了已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．