Question

【题目】现有m个（）实数，它们满足下列条件：①，

②记这m个实数的和为，

即.

（1）若，证明： ；

（2）若m=5，满足题设条件的5个实数构成数列.设C为所有满足题设条件的数列构成的集合.集合，求A中所有正数之和；

（3）对满足题设条件的m个实数构成的两个不同数列与，证明： .

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)256；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由为等比数列可得或，当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，经计算的最大值为不满足题意，而当时，同理计算的最小值为，满足题意；（2）结合（1）中结论，而， ，共种情形，根据其规律得A中正数之和为；（3）不失一般性设使得， ， ， ，…，计算得结论成立.

试题解析：（1）证明：由题意知， ，所以或.

当时，数列前项和在各项取正数时取最大值，所以的最大值为

.不合题意，舍去.

当时，

.

所以， .

（2）解：若，由（I）知， .由题意知， .所以满足题意的所有数列为1,2,4,8,16；-1,2,4,8,16；1，-2,4,8,16；1,2，-4,8,16；…共16个.在这16个数列中，除最后一项外，其他各项正、负各取8次，求和时正负相抵.从而，A中正数之和为16×16=256.

（3）证明：设使得， ， ， ，…，则

，所以.