Question

（2012•四川）如图，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求

|PR|

|PQ|

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线y=-2x+m与3x²-y²-3=0（x＞1）联立，消元可得x²-4mx+m²+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内
可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出x_R，x_Q，利用

|PR|

|PQ|

=

xR

xQ

，即可确定

|PR|

|PQ|

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0
当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）
当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=

2tan∠MAB

1-tan2∠MAB

，
化简可得3x²-y²-3=0
而点（2，±3）在曲线3x²-y²-3=0上
综上可知，轨迹C的方程为3x²-y²-3=0（x＞1）；
（Ⅱ）直线y=-2x+m与3x²-y²-3=0（x＞1）联立，消元可得x²-4mx+m²+3=0①
∴①有两根且均在（1，+∞）内
设f（x）=x²-4mx+m²+3，∴

- -4m 2 ＞1 f(1)=1-4m+m2+3＞0 △=16m2-4(m2+3)＞0

，∴m＞1，m≠2
设Q，R的坐标分别为（x_Q，y_Q），（x_R，y_R），
∵|PQ|＜|PR|，∴x_R=2m+

3(m2-1)

，x_Q=2m-

3(m2-1)

，
∴

|PR|

|PQ|

=

xR

xQ

=

2m+ 3(m2-1)

2m- 3(m2-1)

=-1+

4m

2m- 3(m2-1)

∵m＞1，且m≠2
∴2＜

4m

2m- 3(m2-1)

＜8+4

3

，且

4m

2m- 3(m2-1)

≠8
∴1＜-1+

4m

2m- 3(m2-1)

＜7+4

3

，且-1+

4m

2m- 3(m2-1)

≠7
∴

|PR|

|PQ|

的取值范围是（1，7）∪（7，7+4

3

）

点评：本题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围．