Question

（2012•四川）如图，动点M与两定点A（-1，0）、B（1，0）构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=x+m（m＞0）与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求

|PR|

|PQ|

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出点M（x，y），表示出两线的斜率，利用其乘积为4，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线y=x+m与4x²-y²-4=0（x≠±1）联立，消元可得3x²-2mx-m²-3=0，结合题设（m＞0）可知，m＞0且m≠1设Q，R的坐标，求出x_R，x_Q，利用

|PR|

|PQ|

=

xR

xQ

，即可确定

|PR|

|PQ|

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则k_MA=

y

x+1

，k_MB=

y

x-1

∵直线MA、MB的斜率之积为4，
∴

y

x+1

×

y

x-1

=4
∴4x²-y²-4=0
又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1
综上点M的轨迹方程为4x²-y²-4=0（x≠±1）
（Ⅱ）直线y=x+m与4x²-y²-4=0（x≠±1）联立，消元可得3x²-2mx-m²-4=0①
∴△=16m²+48＞0
当1或-1是方程①的根时，m的值为1或-1，结合题设（m＞0）可知，m＞0且m≠1
设Q，R的坐标分别为（x_Q，y_Q），（x_R，y_R），
∵|PQ|＜|PR|，∴x_R=

m+2 m2+3

3

，x_Q=

m-2 m2+3

3

，
∴

|PR|

|PQ|

=

-xR

xQ

=

- m+2 m2+3 3

m-2 m2+3 3

=1-

2

1-2 1+ 3 m2

∵m＞0且m≠1
∴1+

3

m2

＞1，且1+

3

m2

≠4
∴1＜1-

2

1-2 1+ 3 m2

＜3，且1-

2

1-2 1+ 3 m2

≠

5

3

∴

|PR|

|PQ|

的取值范围是（1，

5

3

）∪（

5

3

，3）

点评：本题以斜率为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性．