Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*，恒又S_n=2a_n-n，
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列；
（2）设cn=

2n

an•an+1

，试判断数列{c_n}的单调性，并求数列{c_n}的最大项．

Answer 1

分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1，求得数列的递推式，整理得a_n+1=2（a_n-1+1），进而判断出{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
（2）利用（1）中的条件可以求得C_n，进而求得C_n-C_n-1＜0，进而判断出数列{c_n}单调递减．n=1时数列{c_n}的最大项．

解答：解：（1）当n=1时，S₁=2a₁-1，得a₁=1
∵S_n=2a_n-n，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_a-1-（n-1），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1
∴a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
（2）得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*
cn=

2n

anan+1

，cn+1=

2n+1

an+1an+2

，cn+1-cn=

2n+1

(2n+1-1)(2n+2-1)

-

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

=2×4n-2n

(2n+1-1)(2n+2-1)(2n-1)

＜0
∴数列{c_n}单调递减．∴n=1时数列{c_n}的最大项为c1=

2

3

点评：本题主要考查了等比关系的确定，考查了学生数列基本知识的掌握和应用．