Question

设函数f（x）=

2

3x+5

+lg

3-2x

3+2x

，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f（x）的反函数f^-1（x），问函数y=f^-1（x）的图象与x轴有交点吗？若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．

Answer 1

分析：（1）让分母不为0且真数大于0求解即可．
（2）把f（x）分成两个函数，分别求单调性，再利用复合函数的单调性即可．
（3）利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系，把函数y=f^-1（x）的图象与x轴有无交点的问题转化为f（x）与y轴的交点问题即可．

解答：解：（1）由3x+5≠0且

3-2x

3+2x

＞0，解得x≠-

5

3

且-

3

2

＜x＜

3

2

．取交集得-

3

2

＜x＜

3

2

．
（2）令μ（x）=3x+5，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；

3-2x

3+2x

=-1+

6

3+2x

随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．
又y=lgx在定义域内是增函数，根据复合函数的单调性可知，y=lg

3-2x

3+2x

是减函数，所以f（x）=

2

3x+5

+lg

3-2x

3+2x

是减函数．
（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．
设函数f（x）的反函数f^-1（x）与x轴的交点为（x₀，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x₀），将（0，x₀）代入f（x），解得x₀=

2

5

．
所以函数y=f^-1（x）的图象与x轴有交点，交点为（

2

5

，0）．

点评：本题综合考查了函数的定义域，单调性和互为反函数的两函数之间的关系．在求复合函数的单调性时，遵循的原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数．