Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2alnx．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数 在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．

（2）

函数f（x）的定义域为（0，+∞）．

（i）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；

（ii）当a＜0时 ．

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）		极小值

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是 ；

单调递增区间是 ．

（3）

由 得 ，

由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，

则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，

即 在[1，2]上恒成立．

即 在[1，2]上恒成立．

令 ，在[1，2]上 ，

所以h（x）在[1，2]为减函数. ，

所以

【解析】（Ⅰ）先对函数求导，然后由由已知f'（2）=1，可求a（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数 的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当a＜0时两种情况分别求解（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即 在[1，2]上恒成立，要求a的范围，只要求解 ，在[1，2]上的最小值即可
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．