Question

【题目】已知椭圆，圆，直线与椭圆交于，两点，与圆相切与点，且为线段的中点，若这样的直线有4条，则的取值范围为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

分直线斜率存在和不存在两种情况各两条，根据中点弦和切线关系解出中点坐标，再根据点在椭圆内部即可解得的取值范围.

根据椭圆和圆的对称性，要使这样的直线有4条，必斜率不存在的直线两条，且斜率存在的直线两条，

（i）当直线斜率不存在时，要有两条符合题意：

（ii）当直线斜率存在时也有两条直线满足条件才符合题意，当时，两条直线符合题意，

当时，先证明中点弦公式：直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则

设在椭圆上，

为线段的中点，

，两式相减：

当直线斜率存在时，设点，在圆上

根据中点弦公式，

根据直线与圆相切

点，在圆上

解得：，这样的点两个，关于x轴对称，

点在椭圆内部：即

解得，

综上所述：

故答案为：