Question

【题目】如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.

(1)求二面角F-BE-D的余弦值;

(2)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）以D为原点建立空间直角坐标系，然后结合条件得到相关点的坐标，进而求得平面BEF的法向量和平面BDE的法向量，求出两向量夹角的余弦值，再结合图形可得二面角的余弦值．（2）设点M(t,t,0)，于是得=(t-3,t,0)，由AM∥平面BEF可得，解得，故得点M坐标为(2,2,0),BM=BD,即为所求．

（1）因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.

因为DE⊥平面ABCD,

所以BE与平面ABCD所成角为∠DBE，故∠DBE =60°,

所以.

由AD=3可知DE=3,AF=.

则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),

所以=(0,-3,),=(3,0,-2),

设平面BEF的法向量为,

则

令z=,则.

同理得平面BDE的法向量为,(也可证AC⊥平面BDE,得即为法向量).

所以cos<,>=.

由图形得二面角F-BE-D为锐角,

所以二面角F-BE-D的余弦值为.

(2)点M是线段BD上一个动点,设M(t,t,0).

则=(t-3,t,0),

因为AM∥平面BEF,

所以，

解得t=2.

此时,点M坐标为(2,2,0),BM=BD,符合题意.

所以当BM=BD 时，满足AM∥平面BEF．