Question

【题目】定义：若数列中存在，其中，，，，及均为正整数，且（），则称数列为“数列”.

（1）若数列的前项和，求证：是“数列”；

（2）若是首项为1，公比为的等比数列，判断是否是“数列”，说明理由；

（3）若是公差为（）的等差数列且（），，求证：数列是“数列”.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）是“数列”；（3）证明见解析.

【解析】

（1）取特殊值，即可判断；

（2）利用反证法，设假设是“数列”，则存在，由绝对值不等式的性质可得，即假设不成立，得证；

（3）由等差数列前项和公式及通项公式，分情况取特殊值即可.

解：（1）由数列的前项和，所以，所以是“数列”；

（2）不是“数列”，理由如下：假设是“数列”，则存在，其中且及均为正整数，且（）， 因为，则，

所以，

所以，与假设矛盾，即假设不成立；

（3）任取中的项，其各项的和构成的集合为，

下面证明，

因为，所以，即，

若，则取，得，

若，则前项和为

取，有，即，

综上：数列是“数列”.