Question

【题目】已知函数（），数列满足，，数列满足.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设数列满足（），且中任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，求的取值范围；

（3）设数列满足（），求的前项和.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3），.

【解析】

（1）等式两边同时减去1，得，从而2，由此能证明数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列．

（2）由（1）可得数列{}的通项公式，得到{}递增，将问题转化为+＞，解出即可．

（3）利用等差数列等比数列求和公式对n分奇偶分别求和．

（1）∵，

等式两边同时减去1，得，

∴2，

∴2，又，即

又1，

∴数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列．

（2）由（1）知数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列，

∴1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，

∴cn＝．

因为k＞1，显然{}递增，

由中任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，得+＞，即+＞

解得．又k＞1，

∴．

（3）∵，

∴当n为偶数时，==，

∵当n为奇数时，n为偶数，

∴．

综上：

，