【题目】在高中学习过程中,同学们经常这样说“如果物理成绩好,那么学习数学就没什么问题”某班针对“高中生物理对数学学习的影响”进行研究,得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论,现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩,如表:
编号成绩 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
物理(x) | 90 | 85 | 74 | 68 | 63 |
数学(y) | 130 | 125 | 110 | 95 | 90 |
(1)求数学y成绩关于物理成绩x的线性回归方程(精确到0.1),若某位学生的物理成绩为80分时,预测他的数学成绩.
(2)要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛,以x表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数,求随机变量X的分布列及数学期望.
【答案】(1) , 预测他的数学成绩是116
(2) X的分布列为:
X | 1 | 2 | 3 |
p |
E(X)=1.8.
【解析】
(1)根据表中数据计算、 ,求出回归系数 、 ,写出回归方程,
利用回归方程计算x=80时 的值即可;
(2)抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人,X的可以取1,2,3,
计算对应的概率值,写出X的分布列,计算数学期望值.
解:(1)根据表中数据计算= ×(90+85+74+68+63)=76,
=×(130+125+110+95+90)=110,
=902+852+742+682+632=29394,
=90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595,
=/span> = ,
;
∴x、y的线性回归方程是,
当x=80时, =1.5×80﹣4=116,
即某位同学的物理成绩为80分,预测他的数学成绩是116;
(2)抽取的五位学生中成绩高于100分的有3人,
X表示选中的同学中高于100分的人数,可以取1,2,3,
P(X=1)=,P(X=2)=,
P(X=3)=;
故X的分布列为:
X | 1 | 2 | 3 |
p |
X的数学期望值为E(X)=1× +2×+3× =1.8.
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【题目】在平面直角坐标系中, 是坐标原点,设函数的图象为直线,且与轴、轴分别交于、两点,给出下列四个命题:
①存在正实数,使的面积为的直线仅有一条;
②存在正实数,使的面积为的直线仅有二条;
③存在正实数,使的面积为的直线仅有三条;
④存在正实数,使的面积为的直线仅有四条.
其中,所有真命题的序号是( ).
A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④
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【题目】微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间情况,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名.其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如表:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;
(3)从(2)中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装,记这3人中“微信控”的人数为X,试求X的分布列及数学期望及方差.
参考公式:,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知分别是椭圆C: 的左、右焦点,其中右焦点为抛物线的焦点,点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设与坐标轴不垂直的直线过与椭圆C交于A、B两点,过点且平行直线的直线交椭圆C于另一点N,若四边形MNBA为平行四边形,试问直线是否存在?若存在,请求出的斜率;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列命题中正确的是( )
A.若正数是等差数列,则是等比数列
B.若正数是等比数列,则是等差数列
C.若正数是等差数列,则是等比数列
D.若正数是等比数列,则是等差数列
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【题目】已知函数的图象过原点,且在处取得极值,直线与曲线在原点处的切线互相垂直.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若对任意实数的,恒有成立,求实数的取值范围.
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【题目】某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元;方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?
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