Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,, 平面，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，，，.

(1)求证：平面；

(2)若平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为，求的长.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .

【解析】分析：（Ⅰ）先证明四边形为平行四边形，由得 ，由等腰三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，所以 ，⊥平面，由面面垂直的判定定理可得平面⊥平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系，求得平面法向量为，平面的法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可得，从而结果.

详解：（Ⅰ）∵，为的中点, ,∴ ，∴四边形为平行四边形，∵∴ ．∵，∴，又∵平面⊥平面,平面∩平面=， ∴平面．∴ ，又∵，∴⊥平面．∵平面，

∴平面⊥平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面． 如图，以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系．则由

又

∴平面法向量为由题意求

平面的法向量为

∵平面与所成的锐二面角的大小的为，

∴，

∴∴ .